Решение: образцы по теме

Примеры решения задач с производными

Производная функции является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке.

Производная широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и другим наукам, в особенности при изучении скорости различного рода процессов.

Именно поэтому мы собрали на сайте более 200 примеров решения производных и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления производных советуем изучить теоретический материал по теме:прочитать определения, правила дифференцирования, таблицу производных и другой материал по производным.

Таблица производных и правила дифференцирования

Основные ссылки – таблица производных, правила дифференцирования и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Так как производная суммы равна сумме производных, то

Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:

Ответ.

Больше примеров решений →

Производные сложных функций

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание.Найти производную функции

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции:

В свою очередь производная также берется по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ.

Больше примеров решений →

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить приближенно , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины и выбираются так, чтобы в точке можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что , то есть , .

Вычислим значение функции в точке :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение :

Тогда

Итак,

Ответ.

Больше примеров решений →

Геометрический смысл производной

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой , то есть

Найдем производную от заданной функции:

в точке имеем:

Тогда окончательно получим, что

Ответ.

Больше примеров решений →

Механический смысл производной

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени ?

Решение. Найдем скорость точки как первую производную от перемещения:

В момент времени скорость равна

Ответ.

Больше примеров решений →

Уравнение касательной, нормали и угол между прямыми

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Записать уравнение касательной к графику функции в точке

Решение. Найдем значение функции в заданной точке:

Найдем производную заданной функции по правилу дифференцирования произведения:

Вычислим её значение в заданной точке

Используя формулу

запишем уравнение касательной:

Ответ. Уравнение касательной:

Больше примеров решений →

Производные высших порядков

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную второго порядка от функции

Решение. Находим первую производную как производную сложной функции:

Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что первый множитель – – есть сложной функцией:

Ответ.

Больше примеров решений →

Механическое смысл второй производной

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид (м). Найти ускорение точки в момент времени c.

Решение. Ускорение заданной точки найдем, взяв вторую производную от перемещения по времени:

Первая производная

(м/с)

вторая производная

(м/с2)

В момент времени c

(м/с2)

Ответ. (м/с2)

Больше примеров решений →

Дифференциалы высших порядков

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ.

Больше примеров решений →

Производная функции, заданной неявно

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную неявно заданной функции

Решение. Продифференцируем обе части данного выражения по , учитывая, что функция от и производная от неё берется как от сложной функции.

Выразим из этого равенства

Ответ.

Больше примеров решений →

Производная функции, заданной параметрически

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную от функции заданной параметрически

Решение. Найдем производные и

Подставляя найденные значения и в формулу

получим

Ответ.

Больше примеров решений →

Логарифмическое дифференцирование

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Применим логарифмическое дифференцирование:

Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь:

Отсюда получаем, что

Ответ.

Больше примеров решений →

Формулы Маклорена и Тейлора

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию в точке .

Решение. Найдем производные:

Итак, , , . Значение функции в точке

Таким образом,

Ответ.

Больше примеров решений →

Вы поняли, как решать? Нет?

Источник: //www.webmath.ru/primeri_reshenii/derivative.php

Бесплатный решатель примеров по математике

Программа для решения математических примеров и уравнений. Позволяет получить решение в наглядном пошаговом виде с подробным расписыванием всех действий в столбик.

Галерея скриншотов

Когда о персональных компьютерах только начали ходить слухи, мы с ребятами (еще школьники) представляли, что это такие устройства, которые все делают вместо людей :). Естественно, мы все сразу применяли к нашей действительности и мечтали о том, чтобы получить такой компьютер, который бы делал за нас домашние задания :).

Сегодня, когда почти в каждом доме есть не только ПК, но и разнообразные планшеты и смартфоны, мы можем констатировать, что некоторые из наших детских фантазий нашли вполне реальное воплощение! Например, при помощи Интернета в считанные секунды можно найти материал для сочинения (а то и готовое скачать ;)), или решить химическое уравнение.

Практически по всем учебным предметам в Сети можно найти разнообразные сервисы и программы, помогающие решать те или иные задачи. И сегодня речь у нас пойдет об одном из таких инструментов, как решатель математических примеров и уравнений Лови Ответ.

Сравнение с платным аналогом

По сути, Лови Ответ – это продвинутый калькулятор, который позволяет видеть все расчеты по действиям или сразу получать нужный результат. Среди платных программ аналогом можно назвать приложение MathHelp:

ОсобенностиЛови ОтветMathHelp

Стоимость	бесплатно	99 руб.
Стандартные функции калькулятора	+	+
Работа с элементарными функциями	+/- (только основные: sin, cos и т.д.)	–
Работа с простыми дробями	+	–
Упрощение математических выражений	+	+
Решение уравнений	+/- (тестовая функция)	+
Мобильные версии	+ (все платформы)	+/- (только JAVA)

Преимуществом Лови Ответ является возможность вывода всех действий при расчетах, в той форме, в которой требуют преподаватели, а значит, пригодится любому школьнику! К тому же от платного приложения его выгодно отличают функции работы с простыми дробями и элементарными функциями (правда, пока не всеми).

Минусом нашей программы является не всегда корректное решение уравнений (MathHelp в этом деле показывает намного лучшие результаты). К тому же обеим программам явно не хватает некоторых функций, как то решение систем уравнений или построение графиков функций. Но это уже, как говорится, моя личная прихоть, а решать, что будет в следующих версиях программ – удел авторов :).

Установка программы

Установка Лови Ответ ничем особенно не отличается от установки любой другой программы. Качаем архив, открываем его и запускаем инсталлятор. Принимаем лицензионные соглашения и жмем далее до тех пор, пока не увидим следующее окно:

Как ни досадно, но в программе имеется сразу несколько рекламных модулей и на предыдущем скриншоте как раз – первый из них. Если Вы не сторонних захламления компьютера различными панелями инструментов, то советую активировать пункт «Настройка параметров» и снять галочки со всех пунктов ниже. Жмем далее и видим следующую рекламную вставку:

Здесь нам уже предлагают установить не сравнительно небольшой тулбар, а полноценный браузер! Если Вы не из тех, кто до сих пор пользуется Internet Explorer’ом, то от установки дополнительного браузера советую также воздержаться, сняв галочку «Загрузить и установить Яндекс.Браузер».

Все остальные шаги ничем не отличаются от традиционной инсталляции и сводятся, по сути, к нажатию кнопки «Далее».

Интерфейс программы

После завершения установки перед нами появится рабочее окно программы:

Интерфейс данного окна можно разделить на 4 функциональные зоны (сверху вниз):

1. Панель инструментов. Здесь находятся кнопки настроек и меню программы.
2. Панель функциональных клавиш. Это панель слева, на которой расположены многочисленные кнопки, часть которых есть на обычных калькуляторах, а часть – уникальны, и позволяют получить доступ к разнообразным элементарным функциям и работе с переменными.
3. Строка ввода данных. Эта строка расположена под панелью инструментов и позволяет вводить примеры и уравнения, которые необходимо решить. Причем вводить можно, как при помощи блока функциональных клавиш программы, так и с клавиатуры ПК, что в разы ускоряет процесс формирования нужного запроса.
4. Рабочее пространство. Представляет собой область вывода решений, оформленную, как классический тетрадный лист. Если решение не помещается на листе, то справа от него появляется полоса прокрутки.

Думаю, что особых трудностей с освоением интерфейса не возникнет, поэтому предлагаю рассмотреть возможные настройки программы. Их не так много и практически все они собраны в одноименном меню:

Как видно со скриншота, для изменения интерфейса мы можем указать только размер листа (при увеличении появятся полосы прокрутки) и размер клеток (влияет на изменение размера шрифта). Эти же параметры можно переключать на боковой панели кнопок.

Помимо настроек размеров рабочей области мы можем также изменить и цветовое оформление всего окна программы. Для этого служит специальная шкала в виде спектра и полозок на ней.

С интерфейсом все :). Теперь попробуем поработать с программой.

Решение простых примеров

Лови Ответ отличается от обычного калькулятора тем, что позволяет видеть процесс решения заданного примера по действиям и даже в столбик! Также преимуществом программы являются такие возможности, как:

• решение примеров со скобками;
• возведение в степень и извлечение корней любого порядка;
• решение примеров с простыми дробями;
• решение простых и квадратных уравнений (пока функция – тестовая);
• решение примеров с использованием элементарных функций и констант.

Как видим, все преимущества налицо. Попробуем решить при помощи программы несложный пример (12+341*34):

Вводим пример в строку запроса и жмем кнопку «Ответ». На рабочей области отображается вначале заданное нами выражение (чтобы мы проверили правильность его распознавания программой), затем ответ, а потом два варианта решения.

Первый вариант решения – классический, которому нас учат в школе, то есть, по действиям. Здесь все действия расписаны в том приоритете, в котором они идут в традиционной математике (вначале действия в скобках, затем умножение и деление, а потом уже сложение и вычитание). Как видим, в нашем примере первым выполнилось вначале умножение, хотя оно в записи было вторым действием.

Заметьте, что возле каждого действия слева есть пометки в виде черных и белых треугольничков. Черный просто указывает на начало строки, а белый обозначает действие, которое можно развернуть для того, чтобы увидеть процесс расчета в столбик или упрощение выражения.

Второй вариант – решение по шагам. Здесь, в принципе, все то же самое, но все действия идут не в математическом порядке, а в том, в котором они записаны в примере. Если порядок шагов отличается от традиционного порядка решения примера, то все вычисления, которые должны предшествовать текущему, записываются как поддействия. В любом случае ответ остается одним и тем же.

Как видим, посчитано все правильно, однако недостатком программы является наличие встроенного рекламного модуля в нижней части рабочей области. В принципе, реклама особо не мешает и ее можно отключить, но при каждом новом расчете окошко будет появляться заново :(.

Решение примеров с дробями

Помимо примеров с целыми числами, Лови Ответ может считать также примеры с дробями. Причем, как с десятичными,  так и с простыми! Оперировать десятичными дробями может любой калькулятор, а вот работу с обыкновенными хотелось бы рассмотреть подробнее. Для этого зададим программе высчитать несложный пример (23/5+1/6):

Чтобы Лови Ответ понял, что перед ним не функция деления, дроби нужно записывать через два знака деления подряд, а перед целой частью ставить пробел. И еще одно, для верности желательно перевести программу в режим «Обыкновенные дроби» (см. надписи в правой части строки ввода).

Посмотрим на решение. Что тут хорошо, а что плохо? В принципе, пример решен верно, но не все действия расписаны, как того требуют преподаватели.

Конкретно в данном примере хорошо видно преобразование целой части в дробную, но, когда дело доходит до сложения дробей с разными знаменателями, программа, почему-то, выдает только результат без промежуточных преобразований по нахождению общего знаменателя :(.

Более того! В качестве ответа выдается неправильная дробь, в которой не выделена целая часть и числитель больше знаменателя!

Но, есть возможность самостоятельно привести дробь к правильному виду. Под решением появляется еще один расчет, в котором простая дробь переводится в десятичную с округлением до 14-го знака после запятой. Здесь, по сути, производится деление числителя на знаменатель. Если мы посмотрим на окончательный ответ, то увидим выделенную целую часть дроби (перед запятой).

Теперь чтобы получить нужный числитель развернем действие деления и посмотрим на приведенное решение в столбик. Остаток от первого деления и будет нашим знаменателем, то есть окончательным ответом, который нужно записать в тетрадь будет 223/30.

Помимо решения примеров с дробями в режиме «Обыкновенные дроби», можно пользоваться и другими режимами. Например, оставим то же выражение и переведем программу в режим «Решение «в столбик»»:

Как видим, ответ нам был выдан в виде десятичной дроби – и это главное отличие остальных режимов от режима «Обыкновенные дроби». Но, кроме этого есть еще одна существенная особенность именно данного режима – максимальная детализация расчетов!

Если стандартное решение предполагает вывод расчетов в столбик только для многозначных чисел, то здесь в столбик будут считаться даже самые элементарные примеры, такие как 2+2 :).

Упрощение выражений и решение уравнений

Помимо решения примеров, Лови Ответ умеет также упрощать выражения и даже решать уравнения. Начнем, пожалуй, с выражений. Зададим программе вот такой пример (3(5x-1)-2(2x+4)=(8x+1)-(3x-7)):

В решении по действиям программа сначала упрощает левую и правую часть выражения и лишь в конце сводит его к нулю. В решении же по шагам правая часть сразу переносится в левую. И тот и другой путь решения правильный и тут уже стоит исходить из требований преподавателей (иногда даже может понадобиться комбинировать расчеты).

Однако, это еще не все! После упрощения выражения (которое выдается в качестве ответа), программа еще и решает его как уравнение. Правда, стоит обратить внимание на то, что решение уравнений пока работает в тестовом режиме, а значит полностью и безоговорочно доверять расчетам не стоит – используйте их только для самопроверки.

И все же в данном случае уравнение, хоть и не расписано по действиям, но решено верно 🙂 Единственное, чего не хватает – приведения решения в виде обыкновенной смешанной дроби (с выделением целой части – 31/6).

В примере получилось довольно простое уравнение, но Лови Ответ умеет считать и более сложные. Например, предлагаю посмотреть, как программа решит простое квадратное уравнение (x2+4x-12=0):

Особенностью ввода квадратного уравнения с клавиатуры является то, что мы сталкиваемся с необходимостью указания степени (квадрата) для нужного числа (х). Для того, чтобы задать программе условие возведения в степень нужно сначала ввести число (или переменную), затем поставить знак «» (SHIFT+6 в английской раскладке), а затем числом указать нужную степень.

Также можно воспользоваться специальными кнопками на цифровой клавиатуре боковой панели программы (x2, x3 или xy).

Квадратные уравнения Лови Ответ решает в соответствии с требованиями школьной программы – путем предварительного вычисления дискриминанта для проверки существующих корней. Однако, стоит помнить о том, что пока решение уравнений только тестируется и следует всегда проверять ответ путем подстановки полученных корней в условие!

Дополнительные возможности

В принципе, все основные возможности программы мы рассмотрели – остались только незначительные функции, к которым можно отнести команды контекстного меню и просмотр истории расчетов.

В контекстном меню, которое вызывается щелчком правой кнопкой мыши по рабочей области, мы найдем функции копирования расчетов в виде текста или картинки, что может пригодиться для распечатки результатов. Также здесь есть команды, позволяющие быстро развернуть/свернуть расчеты для более компактного или расширенного вида при сохранении.

Вызвать же историю расчетов можно, нажав на черную стрелочку вниз в правом конце строки ввода данных:

В появившемся списке мы можем кликнуть любой из ранее вводившихся примеров и повторно получить его решение! Не забывайте, однако, что со временем история будет разрастаться и тормозить работу программы, поэтому время от времени производите ее очистку путем нажатия кнопки «Очистить историю расчетов» в правом нижнем углу панели истории или в меню «Правка».

Достоинства и недостатки программы

Плюсы:

• простой интерфейс с возможностью ввода с клавиатуры;
• решение примеров с простыми дробями;
• функция упрощения выражений;
• поддержка элементарных функций и констант;
• решение уравнений (в т.ч. квадратных);
• хранение истории расчетов;
• наличие версий для большинства мобильных платформ.

Минусы:

• не всегда правильные ответы (особенно в уравнениях)!
• простые дроби не сводятся к правильным (с целой частью);
• решения не всегда расписываются так, как требуют преподаватели.

Выводы

Лови Ответ – прекрасное подспорье для любого школьника, который хочет проверить правильность своего варианта решения математического примера или уравнения. Конечно, программа пока еще не охватывает всего спектра заданий школьного курса алгебры, но уже позволяет довольно многое и активно развивается.

Дополнительным плюсом является наличие версий под современные смартфоны, планшеты и даже старые телефоны с поддержкой JAVA, что позволяет школьникам брать ее всегда с собой на уроки вместо привычного калькулятора.

P.S. Разрешается свободно копировать и цитировать данную статью при условии указания открытой активной ссылки на источник и сохранения авторства Руслана Тертышного.

P.P.S. Стандартный калькулятор Windows годится только для простых вычислений. Если же Вам нужен более продвинутый и удобный его вариант, советую обратить внимание на следующую программу:
//www.bestfree.ru/soft/office/scientific-calculator.php

Источник: //www.bestfree.ru/soft/obraz/expressions-solver.php

Решение примеров

Задачи по математике, решенные примеры здесь.

Пример 1. Сумма матриц

Дано:
Матрицы A и B.
,
Найти:
Сумму матриц A + B = C.
C- ?

Решение:
Для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B является матрица:

Ответ:

Пример 2. Умножение матрицы на число

Дано:
Матрица
Число k=2.

Найти:
Произведение матрицы на число: A × k = B
B — ?

Решение:
Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.
Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица:

Ответ:

Пример 3. Умножение матриц

Дано:
Матрица ;
Матрица .

Найти:
Произведение матриц: A × B = C
C — ?

Решение:
Каждый элемент матрицы С = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Строки матрицы А умножаем на столбцы матрицы В и получаем:

Ответ:

Пример 4. Транспонирование матрицы

Дано:
Матрица .

Найти:Найти матрицу транспонированную данной.

AT — ?

Решение:
Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT

Ответ:

Пример 5. Обратная матрица

Дано:
Матрица .

Найти:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
A-1 — ?

Решение:
Находим det A и проверяем det A ≠ 0:
. det A = 5 ≠ 0.

Составляем вспомогательную матрицу AV из алгебраических дополнений Aij: .

Транспонируем матрицу AV:
.

Каждый элемент, полученной матрицы, делим на на det A:

Ответ:

Пример 6. Ранг матрицы

Дано:
Матрица .

Найти:
Ранг матрицы A.
r(A) — ?

Решение:
Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров Mk этой матрицы. Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.

Вычислим ранг матрицы, применив метод окаймляющих миноров.

M32≠0;

.

Ответ: r(A) = 2

Пример 7. Определитель квадратной матрицы

Дано:
Матрица .

Найти:
Определитель |A| матрицы A.
|A| — ?

Решение:
Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем и обозначается det А или |А|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется через ее элементы, по следующей формуле:

Тогда, для данной в примере матрицы A, определитель |A| будет равен:

Ответ: |A| = 16.

Пример 8. Минор и алгебраическое дополнение

Дано:
Матрица .

Найти:
Минор и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя |A| матрицы A.
Δ21 — ? A21 — ?

Решение:
Запишем определитель матрицы A: .

Минор элемента a21 определителя |A|- это определитель, который получится из данного вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используют обозначение Δ21.

Алгебраическое дополнение A21 элемента a21 в определителе — это число, которое вычисляется по правилу: Aij = (-1)i+j · Δij, где Δij — соответствующий минор. Тогда, подставив данные в формулу, получим:
A21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.

Ответ: Δ21 = -6; A21 = 6.

Пример 9. Метод Крамера

Дано:Система линейных уравнений

Найти:Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

x1, x2, x3— ?

Решение:
Составляем матрицу A из коэффициентов данной системы уравнений — основную матрицу системы:

Составляем матрицу B из свободных членов данной системы уравнений — матрицу-столбец свободных членов:

Решаем пример методом Крамера, используя формулы Крамера.

Вычисляем определитель (подробный пример расчета определителя) матрицы A — Δ — главный определитель системы:

Условие Δ ≠ 0 выполняется, значит система совместна и определена, причём единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

Δ1 — 1-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 1-го столбца на столбец свободных членов:

Δ2 — 2-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 2-го столбца на столбец свободных членов:

Δ3 — 3-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 3-го столбца на столбец свободных членов:

Подставив полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:

Ответ: .

Пример 10. Метод Гаусса

Дано:Система линейных уравнений

Найти:Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

x1, x2, x3— ?

Решение:
Составляем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей:
(A|B)=

Приведём расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатому виду.

Из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~

Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на два:
(A|B)~

Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на :
(A|B)~

Полученной диагональной матрице соответствует эквивалентная система:

Ответ: .

Пример 11. Координаты вектора

Дано:
Точки: A(2, -4, 0); B(-4, 6, -2).

Найти:
Координаты вектора
— ?

Решение:
Начало вектора совпадает с точкой А, конец – с точкой В. Находим координаты вектора :

Ответ:

Пример 12. Направляющие косинусы вектора

Дано:
Вектор: .

Найти:
Направляющие косинусы вектора .
— ?

Решение:Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:

Ответ:

Пример 13. Длина вектора

Дано:
Вектор: .

Найти:
Длину вектора .
— ?

Решение:
Определяем длину вектора :

Ответ:

Пример 14. Объем параллелепипеда

Дано:
Координаты векторов:

Найти:
Объем параллелепипеда
V — ?

Решение:
Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:

Найдём смешанное произведение векторов:

Объем параллелепипеда:

Ответ: V=24.

Пример 15. Объем пирамиды

Дано:
Координаты векторов:

Найти:
Объем пирамиды
V — ?

Решение:
Объем пирамиды вычисляется по формуле:

Найдём смешанное произведение векторов:

Вычисляем объём пирамиды:

Ответ: V=4.

Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору .
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1(7, 8, -1) и M2(9, 7, 4).
Найти:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору .

Решение:
В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор = {x2-x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору = {A, B, C}, имеет вид .

Составляем уравнение плоскости с нормальным вектором = {2, -1, 5}, проходящей через точку M0(2, 5, -3):
.

Ответ: .

Пример 17. Уравнение плоскости «в отрезках»

Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x – 4y + 6z – 12 = 0.
Найти:Отрезки, которые отсекает на осях координат плоскость.

a, b, c — ?

Решение:
Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:

Уравнение — это уравнение плоскости «в отрезках». Параметры представляют собой координаты точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.

Применяя вышеприведенное к уравнению 2x – 4y + 6z –12 = 0, получим:
.

Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6, b =−3, c = 2.
Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.

Задачи по теме «Уравнение плоскости в пространстве»

Задача 1. Составить канонические уравнения прямой:

Решение:Для составления канонического или параметрического уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного прямой.

Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [n1, n2].
n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).

Найдем точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости.

Примем для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={х0; у0; 0}
x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.

Cоставим канонические уравнения данной прямой:
.

Ответ: .

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую k:
и точку B = {2; -3; 1}.

Решение:
Так как точка А = {-3,5,-1} принадлежит плоскости, значит вектор AB параллелен плоскости.
Так как данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Значит, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Так как прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 из уравнений прямой получаем:
— координаты точки А, принадлежащей прямой и соответственно плоскости.

Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Значит, нормаль n к плоскости коллинеарна векторному произведению [a, AB] = (-6; -9; -21).
Примем n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:

Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.

Задача 3.Написать уравнение плоскости, которая проходит через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2(x2, y2, z2), N3(x3, y3, z3).

Решение:
Предположим, что какая нибудь, находящаяся на плоскости точка N, имеет координаты (x, y, z). Для этого случая уравнение плоскости примет вид:
(r-r0, a, b) = 0,где

r = (x, y, z);

r0 = (x1, y1, z1);
базисные векторы (смотрите рисунок) соответственно равны и .

Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:

Ответ:

Источник: //matematika.electrichelp.ru/

Лови Ответ для решения примеров и уравнений

Бесплатная программа ЛовиОтвет — функциональный калькулятор для решения примеров и уравнений. В программе Лови Ответ происходит автоматическое решение математических примеров и уравнений с выводом действий и этапов их решения.

Для чего нужна такая программа? Программа Лови Ответ — это своего рода математический решебник, который выводит ответ, с пошаговым решением выполненного задания.

Программа Лови Ответ будет интересна школьникам и их родителям. С помощью этой программы родители могут проверять домашние задания, которые выполнил учащийся. Также школьники и студенты могут решать примеры и уравнения при помощи этого математического калькулятора.

Взрослые, которые уже не помнят многого из школьного курса, а также учащиеся смогут при помощи данной программы, быстро решить математический пример любой степени сложности.

В программе ЛовиОтвет можно будет выполнять такие математические действия:

• Совершать действия с натуральными числами.
• Производить действия с дробями (десятичными, обыкновенными, смешанными).
• В программе можно будет упрощать выражения, производить действия с многочленами.
• Решать линейные и квадратные уравнения.

Примеры и уравнения будут решены в программе Лови Ответ пошагово, с последовательными действиями. Визуально, в окне программы, вы увидите решение примера или уравнения. Ответ и пошаговые действия для его решения, будут записаны на своеобразном тетрадном листе. Все этапы решения можно будет записывать в программе в столбик.

Скачать программу ЛовиОтвет можно с официального сайта производителя. Программа доступна для работы на компьютерах с операционной системой Windows. Есть версии программы для устройств на операционной системе Android, для Aplle устройств (iPad, iPhone/iPod), для мобильных телефонов (java, java-mini).

После загрузки, вам можно будет установить программу на свой компьютер.

Установка программы Лови Ответ

Запустите процесс установки программы LoviOtvet на своем компьютере.

При установке программы будьте внимательны! Снимите флажки в тех пунктах, где вам предложат установить дополнительные программы, для того, чтобы не устанавливать на свой компьютер постороннее программное обеспечение.

По завершению установки программы на компьютер, будет открыто главное окно программы ЛовиОтвет.

Обзор программы Лови Ответ

В верхней части окна программы расположены кнопки меню для управления программой.

С помощью кнопки меню «Правка» вы можете скопировать решение на свой компьютер, выбрав необходимый вариант копирования из контекстного меню. Из меню «Настройки» вы можете выбрать размер листа, клеток, очистить историю. Здесь вы можете изменить цвет отображения окна программы, передвинув в нужное место ползунок, по шкале цвета.

Под панелью меню расположено поле, в которое вводится задание.

В левой части окна расположены кнопки и переключатели для ввода данных. Здесь находится основная и дополнительная панель.

Дополнительную панель можно будет скрыть с помощью кнопки «Скрыть дополнительную панель». Отсюда, в случае необходимости, вы можете изменить размер листа и размер клеток в рабочей области.

Остальную часть окна программы занимает рабочая область, в которой будет отображено решение задания.

Для решения примера, с помощью соответствующих кнопок введите выражение, а затем нажмите на кнопку «Ответ». Решение можно будет выводить в нескольких вариантах: стандартное решение, обыкновенные дроби, решение «в столбик».

После клика по треугольнику в крайней правой части поля, в котором вводится пример или уравнение, откроется дополнительное поле, в котором будут отображена история расчетов. В этом поле можно будет очистить историю расчетов.

Подробнее о том, как пользоваться математическим калькулятором, можно будет прочитать на официальном сайте производителя программы ЛовиОтвет, на странице сайта «Как пользоваться».

Лови Ответ онлайн

Производитель запустил онлайн версию программы ЛовиОтвет, которая доступна по такому адресу: //calc.loviotvet.ru/.

По заявлению производителя, версия Лови Ответ онлайн менее функциональна, чем программа, которая устанавливается на компьютер или мобильное устройство. Но, все равно, онлайн калькулятор может быть полезен в некоторых случаях, для выполнения решения поставленных задач.

Выводы статьи

Бесплатная программа Лови Ответ — математический решебник и калькулятор, который помогает школьникам, студентам и родителям выполнять или проверять решение примеров и уравнений любой степени сложности.

ЛовиОтвет — программа для решения примеров и уравнений (видео)

//www..com/watch?v=LvvNRSitoTE

Источник: //vellisa.ru/lovi-otvet